Punkte, Geraden und Ebenen im 3-dimensionalen Raum

Abstand zwischen zwei Punkten

Der Abstand zwischen Zwei Punkten A und B ist die Länge des Vektors $\overrightarrow{v}$, welcher sich aus der Differenz der beiden Punkte ergibt:
$|B-A|$

Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade

Der Punkt P wird in den unbekannten Vektor $\overrightarrow{v}$ der Geradengleichung g eingesetzt. Daraufhin werden alle drei Gleichungen nach dem Parameter r umgestellt. Ist dieser jedes mal identisch, liegt der Punkt auf der Geraden, andernfalls nicht.

Schnittpunkt zwischen zwei Geraden

Geradengleichungen in Parameterform gleichsetzen. Dann die Absoluten Werte (ohne Parameter) alleine auf die rechte Seite bringen und Gleichungssystem aus den oberen beiden Gleichungen nach r und s auflösen. Dann r und s in die dritte Gleichung einsetzen. Entsteht hierbei ein mathematischer Widerspruch, haben die beiden Gleichungen keinen Schnittpunkt. Ansonsten r oder s in die dazugehörige Geradengleichung einsetzen und diese Auflösen – heraus kommt der Schnittpunkt.

Lagebeziehung zwischen zwei Geraden

Prüfen, ob die Richtungsvektoren der beiden Geraden Vielfache voneinander sind. Trifft dies zu, weiter mit parallel oder identisch, sonst schneiden oder windschief.

parallel oder identisch

Prüfen, ob der Stützpunkt P der Geraden g auf der Geraden h liegt (s. hier). Wenn ja, sind die Geraden identisch, ansonsten sind sie echt parallel.

schneiden oder windschief

Prüfen, ob die Geraden g und h einen Schnittpunkt haben (s. hier). Wenn ja, schneiden sie sich, sonst sind sie windschief.

Abstand zwischen zwei Geraden

Windschiefe Geraden

Hierzu ist es von Nöten, die Punkte P der Gerade g und Q der Gerade h zu finden, welche sich am nächsten sind. Hierzu wird mithilfe des Kreuzproduktes (s. hier) der Richtungsvektoren $\overrightarrow{v}$ von g und $\overrightarrow{w}$ von h der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ bestimmt, welcher senkrecht zu g und h ist. Dann wird die Ebene E mit dem Stützvektor der Gerade g und den Richtungsvektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{u}$ gebildet. Der Schnittpunkt der Ebene E mit der Geraden h (s. hier) ist der Punkt Q. Nun wird die Gerade i gebildet, welche den Stützpunkt Q und den Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ hat (Diese verbindet g und h auf dem kürzesten Weg). Der Schnittpunkt von i und g (s. hier) ist der Punkt P. Der Abstand zwischen P und Q ist der Abstand zwischen den beiden Geraden.

Parallele Geraden

Der Abstand zwischen Gerade g und Gerade h ist der Abstand des Stützpunktes P von g zur Geraden h (s. hier).

Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene

Wenn der Richtungsvektor der Geraden g senkrecht zum Normalenvektor der Ebene E steht, mit VI. a) fortfahren, ansonsten mit VI. b).

a

Wenn der Stützpunkt der Gerade g in der Ebene E liegt, so sind Gerade und Ebene identisch, ansonsten sind sie echt parallel.

b

Gerade und Ebene haben einen Schnittpunkt.

Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene

Wenn Gerade und Ebene einen Schnittpunkt haben (s. VI.), die Geradengleichung in die Koordinatenform der Ebene einsetzen. Die Gleichung nach r auflösen und den Parameter der Geraden in die Gerade einsetzen. Heraus kommt der Schnittpunkt zwischen der Gerade und der Ebene.

Entfernung zwischen Gerade und Ebene

Eine Entfernung zwischen Gerade und Ebene lässt sich nur bestimmen, wenn diese echt parallel sind (s. VI.). Diesem Fall den Abstand des Stützpunkts der Geraden zur Ebene bestimmen (s. XIX.)

Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene

Koordinatenform

(einfach) Punkt in die Ebene in Koordinatenform einsetzen. Entsteht kein mathematischer Widerspruch, liegt der Punkt in der Ebene – ansonsten nicht. → bei der Suche des Abstandes: in die Hessische Normalenform einsetzen (s. XIX.) b)

Parameterform

(sehr umständlich!) Punkt mit der Ebene E gleichsetzen und nach r und v mit den oberen beiden Gleichungen auflösen. Entsteht beim Einsetzen von r und v in E kein Widerspruch, liegt der Punkt in der Ebene, ansonsten nicht.

Normalenform

(ein wenig umständlich) Punkt in die Ebene einsetzen. Entsteht kein mathematischer Widerspruch, liegt der Punkt in der Ebene – ansonsten nicht.

Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen

Sind die Normalenvektoren der Ebenen vielfache voneinander, X. a), ansonsten X. b).

a

Stützpunkt der Ebene E in die Ebene F einsetzen (s. IX.). Liegt der Punkt in der Ebene, sind beide Ebenen Identisch, ansonsten sind sie echt parallel.

b

In diesem Fall schneiden sich die beiden Ebenen in einer Schnittgeraden.

Schnittgerade zwischen zwei Ebenen

Existiert eine Schnittgerade (s. X.), so wird sie am einfachsten wie folgt bestimmt: Der Richtungsvektor v der Schnittgeraden g ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der beiden Normalenvektoren der Ebenen. Der Stützvektor P der Schnittgeraden ergibt sich indem beide Ebenen in Koordinatenform umgeformt werden. Nun wird x1, x2 oder x3 frei gewählt und x2 und x3 wiederum bestimmt, indem das Gleichungssystem aus den beiden Gleichungen aufgelöst wird. Der resultierende Vektor (x1 / x2 / x3) ist der Stützvektor.

Entfernung zwischen zwei Ebenen

Dies geht nur, wenn beide Ebenen echt parallel sind (s. X.). Hierbei wird ein einfacher Trick angewendet - Und zwar die Tatsache, dass die Entfernung zwischen beiden Ebenen überall gleich ist. Man berechnet den Abstand des Stützpunktes der Ebene E zur Ebene F (s. XIX.).

Winkel zwischen zwei Geraden

Haben zwei Geraden einen Schnittpunkt (s. IV.), so ist der Winkel zwischen den Geraden mit den Richtungsvektoren v und u: alpha = arc cos ((|v * u|) / (|v| * |u|)), wobei arc cos die Umkehrung des Cosinus ist, |v*u| das Skalarprodukt ohne Vorzeichen und |v| sowie |u| die Längen der Vektoren v und u.

Winkel zwischen zwei Ebenen

Haben zwei Ebenen eine Schnittgerade (s. X.), so ist der Winkel zwischen den Ebenen der Winkel zwischen ihren Normalenvektoren v und u (s. XIII.).

Umformen von Ebenenformen:

Parameter zu Normalenform

Stützvektor der Normalenform ist der Stützvektor der Parameterform. Der Normalenvektor ist das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren der Parameterform.

Normalenform zu Parameterform

Die aufspannenden Vektoren sind zwei Senkrechte Vektoren zum Normalenvektor (s. XVIII.). Der Stützvektor der Parameterform ist der Stützvektor der Normalenform.

Normalenform zu Koordinatenform

Klammer auflösen (aus (v1 – x) * v2 = 0) wird v1 * v2 = x * v2). Nun beide Seiten mithilfe des Skalarprodukts auflösen.

Koordinatenform zu Normalenform

Der Normalenvektor ist (x / y / z). Der Stützvektor ergibt sich, indem in der Koordinatenform alle bis auf einen Wert frei gewählt und nach dem letzten Wert aufgelöst werden, hier ergibt sich der Stützpunkt aus (x / y / z). Ist ein Wert in Koordinatenform nicht vorhanden, kann dieser für Normalenvektor und Stützpunkt frei gewählt werden.

Normalenform zu Hessische Normalenform

Den Normalenvektor n, der Normalenform auf die Länge 1 bringen, indem man ihn (also jeden seiner Werte einzeln) durch seine aktuelle Länge teilt. Der Stützvektor bleibt der selbe.

Hessische Normalenform zu X

Die Hessische Normalenform ist gleichzeitig einfach eine Normalenform und kann daher nach b) und c) umgeformt werden.

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt der Vektoren (a / b / c) und (d / e / f) ist: (b * f – c * e | c * d – a * f | a * e – d * b). Das Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren ist immer senkrecht zu beiden Vektoren.

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt der Vektoren (a / b / c) und (d / e / f) ist: ad + be + c*f. (Zusatz: Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren 0, dann stehen sie senkrecht zueinander!)

Senkrechten Vektor zu einem anderen Vektor bestimmen

Ein Senkrechter Vektor zu v ergibt sich aus dem Kreuzprodukt aus v und dem beliebigen Vektor u, welcher ungleich 0 und kein Vielfaches von v ist. Am Besten bieten sich die Vektoren v=(1|0|0); v=(0|1|0) oder v=(0|0|1) an.

Abstand zwischen Punkt und Ebene

Punkt P in die Hessische Normalenform der Ebene einsetzen. Das Ergebnis ist der Abstand. Wenn 0 herauskommt, dann liegt P in E.

Abstand zwischen Punkt und Gerade

Erstelle die Geradenschar h, die alle möglichen Verbindungen zwischen dem Punkt P und der Gerade g vereint. Stützvektor der Geradenschar ist der Punkt P, Richtungsvektor v ist die Differenz der Geraden g und dem Punkt P. Um den Parameter r in v aufzulösen nutzen wir die Voraussetzung, dass h und g senkrecht sind, also das Skalarprodukt des Richtungsvektors von g und des Richtungsvektors von h (v) 0 ergeben muss. Jetzt nach r auflösen. Nach einsetzen von r in g ergibt sich der Punkt Q auf der Geraden g, der dem Punkt P am nächsten ist. Der Abstand zwischen P und g ist folglich der Abstand zwischen P und Q (s. I.).

Winkel zwischen Gerade und Ebene

Wie (s. XIII.) mit folgender Ausnahme: Alpha = arc sinus [(|vu|) / (|v||u|)]

Quelle